Nuevo libro de matemáticas rescata una prueba de topología histórica

Por • 25 oct, 2021 • Sección: Crítica

La trascendental prueba de 1981 de Michael Freedman de la conjetura cuatridimensional de Poincaré estaba a punto de perderse. Los editores de un nuevo libro están intentando salvarlo.

no de los conocimientos matemáticos más importantes estuvo a punto de perderse, tal vez para siempre. Ahora, un nuevo libro espera salvarlo.

El teorema de incrustación de discos reescribe una prueba completada en 1981 por Michael Freedman , sobre una red infinita de discos, después de años de trabajo solitario en la costa de California. La prueba de Freedman respondió una pregunta que en ese momento era una de las preguntas sin resolver más importantes en matemáticas, y el problema definitorio en el campo de Freedman, la topología.

La prueba de Freedman se sintió milagrosa. Nadie en ese momento creía que podría funcionar, hasta que Freedman persuadió personalmente a algunas de las personas más respetadas en el campo. Pero mientras se ganó a sus contemporáneos, la prueba escrita está tan llena de lagunas y omisiones que su lógica es imposible de seguir a menos que tenga a Freedman, o alguien que aprendió la prueba de él, de pie sobre su hombro guiándolo.

“Probablemente no traté la exposición del material escrito con el cuidado que debiera”, dijo Freedman, quien hoy dirige un grupo de investigación de Microsoft en la Universidad de California, Santa Bárbara, enfocado en la construcción de una computadora cuántica.

En consecuencia, el milagro de la prueba de Freedman se ha convertido en mito.

Hoy en día, pocos matemáticos entienden lo que hizo, y los que lo hacen están envejeciendo fuera del campo. El resultado es que la investigación que involucra su prueba se ha marchitado. Casi nadie obtiene el resultado principal, y algunos matemáticos incluso han cuestionado si es correcto en absoluto.

En una publicación de 2012 sobre MathOverflow, un comentarista se refirió a la prueba como una «monstruosidad de papel» y dijo que «nunca había conocido a un matemático que pudiera convencerme de que entendía la prueba de Freedman».

El nuevo libro es el mejor esfuerzo hasta ahora para arreglar la situación. Se trata de una colaboración de cinco jóvenes investigadores que quedaron cautivados por la belleza de la prueba de Freedman y querían darle nueva vida. En casi 500 páginas, describe los pasos del argumento de Freedman con todo detalle, utilizando una terminología clara y coherente. El objetivo era convertir esta importante pero inaccesible pieza de matemáticas en algo que un estudiante universitario motivado pudiera aprender en un semestre.

«Ya no queda nada a la imaginación», dijo Arunima Ray del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn, coeditor del libro junto con Stefan Behrens de la Universidad de Bielefeld, Boldizsár Kalmár de la Universidad de Tecnología y Economía de Budapest, Min Hoon Kim de la Universidad Nacional de Chonnam en Corea del Sur y Mark Powell de la Universidad de Durham en el Reino Unido «Está todo bien definido».

Clasificación de esferas

En 1974, Michael Freedman tenía 23 años y tenía el ojo puesto en uno de los mayores problemas de la topología, un campo de las matemáticas que estudia las características básicas de los espacios, o variedades, como los denominan los matemáticos.

Se llamó la conjetura de Poincaré, en honor al matemático francés Henri Poincaré, quien la había planteado en 1904. Poincaré predijo que cualquier forma, o variedad, con ciertas características genéricas debe ser equivalente, o homeomorfa, a la esfera. (Dos variedades son homeomórficas cuando puede tomar todos los puntos en una y mapearlos con puntos en la otra mientras mantiene distancias relativas entre puntos, de modo que los puntos que están muy juntos en la primera variedad permanezcan juntos en la segunda).

Poincaré pensaba específicamente en variedades tridimensionales, pero los matemáticos pasaron a considerar las variedades de todas las dimensiones. También se preguntaron si la conjetura era válida para dos tipos de variedades. El primer tipo, conocido como colector «suave», no tiene características como esquinas afiladas, lo que le permite realizar cálculos en cada punto. La segunda, conocida como variedad “topológica”, puede tener esquinas donde el cálculo es imposible.

Décadas después de completarlo, Freedman apoyó la reescritura de su prueba porque le daba miedo pensar que de otro modo podría perderse.

José Escamilla

Cuando Freedman comenzó a trabajar en el problema, los matemáticos habían progresado mucho en la conjetura, incluida la resolución de la versión topológica de la misma en las dimensiones 5 y superiores.

Freedman se centró en la conjetura topológica de cuatro dimensiones. Afirmó que cualquier variedad topológica que sea una esfera de «homotopía» de cuatro dimensiones, que es vagamente equivalente a una esfera de cuatro dimensiones, es de hecho homeomorfa (fuertemente equivalente) a la esfera de cuatro dimensiones.

«La pregunta que nos hacemos es, [para las cuatro esferas], ¿hay alguna diferencia entre estas dos nociones de equivalencia?» dijo Ray.

La versión en cuatro dimensiones fue posiblemente la versión más difícil del problema de Poincaré. Esto se debe en parte al hecho de que las herramientas que los matemáticos utilizaron para resolver la conjetura en dimensiones superiores no funcionan en el entorno más restringido de cuatro dimensiones. (Otro contendiente para la versión más difícil de la pregunta es la conjetura tridimensional de Poincaré, que no fue resuelta hasta 2002 por Grigori Perelman).

En el momento en que Freedman se puso a trabajar, nadie tenía una idea completamente desarrollada de cómo resolverlo, lo que significa que si iba a tener éxito, tendría que inventar matemáticas tremendamente nuevas.

Curvas que cuentan

Antes de entrar en cómo demostró la conjetura de Poincaré, vale la pena profundizar un poco más en lo que realmente está preguntando la pregunta.

Una esfera de homotopía de cuatro dimensiones se puede caracterizar por la forma en que las curvas dibujadas en su interior interactúan entre sí: la interacción te dice algo esencial sobre el espacio más grande en el que están interactuando.

En el caso de cuatro dimensiones, estas curvas serán planos bidimensionales (y, en general, las curvas serán como máximo la mitad de la dimensión del espacio más grande en el que están dibujadas). Para comprender la configuración básica, es más fácil considerar un ejemplo más simple que involucra curvas unidimensionales que se cruzan dentro de un espacio bidimensional, como este:

Estas curvas tienen algo llamado número de intersección algebraico. Para calcular este número, trabaje de izquierda a derecha y asigne un -1 a cada lugar en el que se cruzan en el que el arco está ascendiendo y un +1 a cada lugar en el que se cruzan donde el arco está descendiendo. En este ejemplo, la intersección más a la izquierda obtiene un -1 y la intersección más a la derecha obtiene un +1. Súmelos y obtendrá el número de intersección algebraica para estas dos curvas: 0.

Una esfera de homotopía tiene la característica de que cualquier par de curvas semidimensionales dibujadas en su interior tiene un número de intersección algebraica de 0.

Esto también es cierto para la esfera regular. Pero la esfera regular también tiene una propiedad ligeramente diferente relacionada con las intersecciones: siempre puede dibujar dos curvas para que no se crucen entre sí en absoluto. Entonces, mientras que una esfera de homotopía tiene la propiedad de que un par de curvas siempre tiene un número de intersección algebraica de 0, la esfera regular tiene la propiedad de que cualquier par de curvas puede separarse entre sí para que tengan un número de intersección geométrica de 0. Es decir, literalmente no se cruzan en absoluto.

Para que Freedman probara la conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones, necesitaba demostrar que siempre es posible tomar pares particulares de curvas con intersección algebraica 0 y «empujarlos» entre sí para que su número de intersección geométrica siga siendo 0. Si tiene pares de curvas con intersección algebraica 0, y demuestra que siempre puede separarlas, demuestra que el espacio en el que están incrustadas debe ser la esfera regular.

«Es como un distanciamiento social para estas subvariedades semidimensionales», dijo Ray.

El trabajo anterior en versiones de dimensiones superiores del problema había establecido un método para hacer esto. Implicaba buscar objetos llamados discos de Whitney, que son espacios planos bidimensionales delimitados por las curvas que se quieren separar.

Estos discos se convierten en una especie de guía para un proceso matemático llamado isotopía en el que alejas dos curvas una de la otra. La presencia de estos discos planos de Whitney asegura que es posible desplazar gradualmente la curva de arco hacia abajo. Mientras lo hace, el disco comienza a desaparecer, como un sol poniente. Finalmente, el disco desaparece por completo y las curvas se han separado.

“El disco de Whitney te está dando el camino de la isotopía. Está moviendo continuamente una curva hasta que las dos curvas están separadas. El disco es como una hoja de ruta para este proceso ”, dijo Ray.

La principal tarea de Freedman, cuando se enfrentó a la conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones, fue demostrar que estos discos planos de Whitney estaban presentes siempre que se tenía un par de curvas que se cruzaban con una intersección algebraica 0. Establecer que era cierto llevó a Freedman a nuevas alturas inimaginables de las matemáticas. .

Desanudar discos

Mientras Freedman trabajaba, se enfrentó a un obstáculo particular que surge en cuatro dimensiones. Necesitaba demostrar que siempre es posible separar las curvas bidimensionales que se cruzan, para empujarlas entre sí, y para hacer eso tenía que establecer la presencia de discos Whitney, que aseguran que la separación sea posible.

El problema es que en cuatro dimensiones, los discos de Whitney bidimensionales pueden cruzarse, en lugar de quedar planos. Los lugares en los que un disco se cruza forman obstrucciones al proceso de deslizar una curva fuera de la otra. Puedes pensar en la auto-intersección como un obstáculo que atrapa una de tus curvas mientras intentas sacarla de la otra.

«Se suponía que el disco me ayudaría, pero resulta que el disco también se cruza», dijo Ray.

Así que Freedman necesitaba demostrar que siempre es posible deshacer los lugares donde los discos de Whitney se cruzan, colocarlos planos y luego proceder con la separación. Por suerte para él, no empezaría de cero. En la década de 1970, un matemático llamado Andrew Casson ideó una estrategia para eliminar las auto-intersecciones de los discos.

El objetivo de los discos es establecer que es posible separar curvas para que no se crucen. Si un disco en sí contiene una intersección, el método para aliviarla es el mismo: busque un segundo disco delimitado por las partes que se cruzan del primer disco. Si encuentra ese segundo disco, sabrá que puede arreglar la intersección en el primer disco.

Esquema de las tres primeras etapas de un mango Casson.

Está bien, pero ¿qué pasa si el segundo disco, que está ayudando al primer disco, también se cruza? Luego busca un tercer disco contenido en el segundo disco. Sin embargo, ese disco también podría cruzarse, por lo que busca un cuarto disco, y el proceso continúa, para siempre, produciendo una pila infinita de discos dentro de los discos, todos erigidos con la esperanza de establecer que el disco original, hasta el final en la parte inferior, se puede hacer que no se cruce.

Casson estableció que estos «mangos de Casson» son vagamente equivalentes a los discos de Whitney reales – equivalente de homotopía, para decirlo con mayor precisión – y usó esta equivalencia para investigar muchas cuestiones importantes en la topología de cuatro dimensiones. Pero no pudo probar que los mangos de Casson son equivalentes a los discos en un sentido aún más fuerte: que son homeomórficos a los discos. Esta equivalencia más fuerte es lo que los matemáticos necesitaban para usar las asas para demostrar la mayor pregunta abierta de todas.

«Si mostramos que estos son discos reales de honestidad, podríamos probar la conjetura de Poincaré y un montón de otras cosas en la dimensión cuatro», dijo Ray. «Pero [Casson] no pudo hacerlo».

Perspicacia de Freedman

Freedman tardó siete años, de 1974 a 1981, pero lo logró. La mayor parte de ese tiempo casi no habló con nadie sobre lo que estaba haciendo, salvo con su colega mayor Robert Edwards, quien se desempeñó como una especie de mentor.

“Se encerró durante siete años en [San Diego] para pensar en esto. No interactuó mucho con nadie más mientras lo averiguaba ”, dijo Peter Teichner del Instituto Max Planck de Matemáticas.

Robion Kirby , ahora en la Universidad de California, Berkeley, fue uno de los primeros matemáticos en conocer la prueba de Freedman. Para evaluar la magnitud de los principales resultados matemáticos, Kirby intenta imaginar cuánto tiempo habría pasado antes de que alguien más lo hiciera, y según este estándar, la prueba de Freedman es el resultado más sorprendente que Kirby ha visto en su larga carrera.

«Si no lo hubiera hecho, no puedo imaginar quién lo hubiera hecho durante no sé cuánto tiempo», dijo Kirby.

 

Michael Freedman en sus 20 años. Su eventual demostración de la conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones fue uno de los resultados más atrevidos en la historia de las matemáticas.

Freedman necesitaba demostrar que los mangos de Casson eran fuertemente equivalentes a los discos planos de Whitney: si tienes un mango de Casson, tienes un disco de Whitney, y si tienes un disco de Whitney, puedes separar curvas, y si puedes separar curvas, puedes ‘ He establecido que la esfera de homotopía es homeomórfica con respecto a la esfera real.

Su estrategia fue demostrar que se pueden construir ambos objetos, el mango Casson y el disco plano de Whitney, con el mismo conjunto de piezas. La idea era que si puedes construir dos cosas a partir de las mismas piezas, deben ser equivalentes en algún sentido. Freedman comenzó el proceso de construcción y llegó bastante lejos: pudo construir casi todo el mango Casson y casi todo el disco con los mismos componentes.

Pero había lugares en los que no podía completar la imagen del todo, como si estuviera creando un retrato y había algunos aspectos del rostro de su sujeto que no podía ver. Su último movimiento, entonces, fue demostrar que esos huecos en su imagen, los lugares que no podía ver, no importaban desde el punto de vista del tipo de equivalencia que buscaba. Es decir, los espacios en la imagen no podrían evitar que el mango de Casson sea homeomórfico para el disco, sin importar lo que contenga.

“Tengo dos rompecabezas y 99 de cada 100 piezas coinciden. ¿Estas partes sobrantes realmente están cambiando mi espacio? Freedman demostró que no lo son ”, dijo Ray.

Para realizar este movimiento final, Freedman se basó en técnicas de un área de las matemáticas llamada topología de Bing, en honor al matemático RH Bing, que la desarrolló en las décadas de 1940 y 1950. Pero los aplicó en un entorno completamente nuevo para generar una conclusión que parecía casi absurda: que al final, las brechas no importaban.

«Eso es lo que hizo que la prueba fuera tan notable y tan poco probable que alguien más la hubiera encontrado», dijo Kirby.

Freedman completó su esbozo de la prueba en el verano de 1981. Los factores que finalmente la colocarían en riesgo de perderse en la memoria matemática se hicieron evidentes poco después.

Difundir las noticias

Freedman anunció su prueba en una pequeña conferencia en la Universidad de California, San Diego, ese agosto. Asistieron unos 10 de los matemáticos más respetados, con las mejores posibilidades de comprender el trabajo de Freedman.

Antes del evento, envió copias de un manuscrito manuscrito de 20 páginas que describe su prueba. En la segunda noche de la conferencia, Freedman comenzó a presentar su trabajo. No pudo terminar de una sentada, por lo que su charla pasó a la noche siguiente. Cuando terminó, su pequeña audiencia estaba desconcertada, el mentor de Freedman, Edwards, entre ellos. En una entrevista de 2019 sobre los procedimientos , Edwards recordó la sensación de conmoción y escepticismo con la que se recibió la charla de Freedman.

«Creo que es justo decir que todos en la audiencia encontraron sus presentaciones alucinantes e incomprensibles, pensando que sus ideas eran descabelladas y locas», dijo Edwards.

La prueba de Freedman parecía improbable en gran parte porque no estaba realmente desarrollada. Tenía una idea de cómo debería ir la prueba y una fuerte intuición, casi sobrenatural, de que el enfoque funcionaría. Pero en realidad no lo había llevado a cabo hasta el final.

“No podía imaginarme cómo Mike tuvo el descaro de anunciar una prueba cuando estaba tan vacilante con los detalles”, dijo Kirby, quien también asistió a la conferencia.

Pero después, varios matemáticos se quedaron para hablar con Freedman. La magnitud del resultado potencial parecía merecer eso, al menos. Después de dos días más de conversación, Edwards tuvo suficiente idea de lo que Freedman estaba tratando de hacer para evaluar si realmente funcionaba. Y el primer sábado por la mañana después de la conferencia, se dio cuenta de que sí.

“[Edwards] dijo, ‘Soy la primera persona que realmente sabe que esto es cierto’”, dijo Kirby.

Una vez que Edwards estuvo convencido, ayudó a convencer a otros. Y de alguna manera, eso fue suficiente. No existe una alta comisión de matemáticas que certifique oficialmente los resultados como correctos. El proceso real mediante el cual se acepta una nueva declaración es más informal, y se basa en el consentimiento de los miembros de la comunidad matemática que se supone que saben mejor.

“La verdad en matemáticas significa que convences a los expertos de que tu prueba es correcta. Entonces se vuelve verdad ”, dijo Teichner. «Freedman convenció a todos los expertos de que su prueba es correcta».

Pero eso por sí solo no fue suficiente para difundir el resultado a través del campo. Para hacer eso, Freedman necesitaba una declaración escrita de la prueba de que las personas que nunca lo habían conocido podían leer y aprender por sí mismas. Y eso es lo que nunca produjo.

Hacia adelante

Freedman envió el esquema de su prueba, que era todo lo que realmente tenía, al Journal of Differential Geometry . El editor de la revista, Shing-Tung Yau, la asignó a un experto externo para que la revisara antes de decidir si publicarla, una protección estándar en todas las publicaciones académicas. Pero la persona a la que se lo asignó no era un experto objetivo: Robert Edwards.

La revisión aún tomó tiempo. La prueba en sí tenía 50 páginas y Edwards descubrió que estaba escribiendo una página de densas notas matemáticas para cada página de la prueba. Pasaron las semanas y los editores de la revista se inquietaron. Edwards recibió llamadas regulares del secretario de la revista preguntándole si tenía un veredicto sobre la legitimidad de la prueba. En esa misma entrevista de 2019, Edwards explicó que finalmente, le dijo a la revista que la prueba era correcta, aunque sabía que no había tenido tiempo de verificarla por completo.

“La próxima vez que me llamó la secretaria dije ‘Sí, el documento es correcto, se lo aseguro. Pero no puedo generar un informe de árbitro adecuado en el corto plazo ‘. Entonces decidieron aceptarlo y publicarlo tal como estaba ”, dijo.

El artículo apareció en 1982 . Contenía errores tipográficos y ortográficos y seguía siendo efectivamente el mismo esquema que Freedman había hecho circular justo después de terminar el trabajo. Cualquiera que intente leerlo necesitaría completar muchos pasos del argumento completamente novedoso por su cuenta.

Las limitaciones del artículo publicado fueron evidentes de inmediato, pero nadie dio un paso adelante para abordarlas. Freedman pasó a otro trabajo y dejó de dar conferencias sobre su prueba de Poincaré. Casi una década después, en 1990, apareció un libro que intentaba presentar una versión más accesible de la prueba. Fue de Freedman y Frank Quinn , ahora en el Instituto Politécnico de Virginia y la Universidad Estatal, aunque fue escrito principalmente por Quinn.

Si simplemente acepta que es verdad, puede usarlo de muchas maneras. Pero eso no significa que quieras aceptarlo todo con fe.

Mark Powell, Universidad de Durham

La versión del libro apenas era más legible. Se suponía que los lectores aportaban al libro una cierta cantidad de conocimientos previos que casi nadie tenía en realidad. No había forma de leerlo y aprender la prueba desde cero.

“Si tuvieras la suerte de estar cerca de aquellas personas que entendieron la prueba, aún podrías aprenderla”, dijo Teichner. «Pero las personas que volvieron a las fuentes [escritas] se dieron cuenta de que no podían».

Y durante décadas, ahí es donde quedaron las cosas: unas pocas personas conocieron uno de los resultados más asombrosos en la historia de las matemáticas y fue inaccesible para todos los demás.

El resto del mundo de las matemáticas podría haber avanzado como lo había hecho Freedman, pero su demostración era demasiado monumental para ignorarla por completo. Así que la comunidad se adaptó al extraño conjunto de circunstancias. Muchos investigadores adoptaron la prueba de Freedman como una caja negra. Si asume que su demostración es correcta, puede probar muchos otros teoremas sobre variedades de cuatro dimensiones, y muchos matemáticos lo hicieron.

“Si simplemente acepta que es verdad, puede usarlo de muchas maneras”, dijo Powell. «Pero eso no significa que quieras tomar todo por fe».

Y con el tiempo, a medida que los investigadores más jóvenes ingresaron a las matemáticas y pudieron elegir trabajar en cualquier área que quisieran, menos optaron por trabajar con la demostración.

Freedman lo entendió. «No es tan satisfactorio trabajar en un área en la que no se comprende el teorema fundamental», dijo. «Básicamente, surgió la situación en la que nadie menor de 40 años conocía la prueba, y era un poco aterrador que esta información pudiera eventualmente perderse».

Fue en este punto que Teichner, que había aprendido la prueba a principios de la década de 1990 del propio Freedman, decidió lanzar una misión de rescate. Quería crear un texto que permitiera a cualquier persona calificada aprender la prueba por sí misma.

“Decidí que es hora de que escribamos algo que puedas entender”, dijo.

Freedman preparado para el futuro

Teichner comenzó volviendo directamente a la fuente. En 2013, le pidió a Freedman que diera una serie de conferencias en el transcurso de un semestre en el Instituto Max Planck describiendo la prueba, una versión moderna de las charlas que había dado 30 años antes para anunciar el resultado. Freedman asintió con entusiasmo.

“Definitivamente estaba preocupado de que se perdiera. Por eso fue tan solidario ”, dijo Teichner.

En 1981, Freedman había dado una conferencia a un puñado de figuras de alto nivel en el campo, los expertos a los que necesitaba ganarse. Esta vez su audiencia fue un grupo de 50 jóvenes matemáticos que Teichner había reunido para recibir el testigo. Las conferencias, que Freedman pronunció por video desde su oficina en Santa Bárbara, fueron un evento en sí mismos en el mundo de la topología.

«En mi institución solíamos tener conferencias de Freedman los viernes por la tarde, donde tomábamos una cerveza y lo veíamos hablar sobre su prueba», dijo Ray, quien era un estudiante de posgrado en la Universidad Rice en Houston en ese momento.

Después de las conferencias, el matemático Stefan Behrens dirigió un esfuerzo por convertir los comentarios de Freedman en notas de lectura más formales. Varios años después, en 2016, Powell y otros matemáticos, incluido Behrens, dieron una nueva serie de conferencias basadas en esas notas, continuando el proceso de transformar el trabajo de Freedman en algo más duradero.

«Mark dio conferencias y comenzamos a completar más y más detalles en esas notas de lectura y luego todo fue desde allí», dijo Ray.

Durante los siguientes cinco años, Powell, Ray y sus tres coeditores organizaron un equipo de matemáticos para convertir la prueba de Freedman en un libro. El producto final, lanzado en julio, tiene casi 500 páginas e incluye contribuciones de 20 autores diferentes. Freedman espera que el libro revitalice la investigación en el área de las matemáticas que él revolucionó.

Mark Powell y Arunima Ray crearon una nueva versión del tamaño de un libro de la prueba de Freedman porque querían entenderla por sí mismos y compartirla con una nueva generación de matemáticos.

Victoria Greener; Stefan Friedl

“Creo que el libro llega en un buen momento. La gente está mirando cuatro variedades con ojos nuevos ”, dijo.

El libro mejora la presentación escrita de la prueba de Freedman de varias maneras. Mientras escribían el libro, los autores descubrieron algunos errores en los argumentos que Freedman usó para probar diferentes teoremas en el artículo original de la revista. El libro los arregla. También proporciona una introducción completa a la topología de Bing, el área de matemáticas que Freedman usó para demostrar que las brechas en sus construcciones del mango de Casson y el disco de Whitney no importan. Y en conjunto, el libro está diseñado para ser pedagógico y fácil de abordar. Los primeros capítulos proporcionan un esquema amplio de la prueba que luego completan los capítulos posteriores.

«Se supone que tener resúmenes, y luego resúmenes más detallados, luego detalles completos, lo hace legible», dijo Powell. “Puede tener una idea general de lo que sucederá antes de conocer todos los detalles. Pero todavía tenemos todos los detalles «.

Los editores esperan impulsar las poderosas técnicas de Freedman de regreso a la corriente principal del pensamiento matemático. La tercera parte del libro detalla los mayores problemas abiertos en la topología de cuatro dimensiones que los investigadores podrían abordar una vez equipados con el conocimiento de la prueba de Freedman.

«Esta parte del libro no tiene absolutamente nada que ver con la prueba del trabajo original de Freedman», dijo Ray. «Habla sobre cómo usar esto para hacer lo que viene a continuación».

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Y ya, varios de los matemáticos involucrados con el libro han producido una nueva investigación que se basa en las ideas de Freedman. Un artículo, publicado en 2013 al comienzo del proceso del libro, encuentra algunos usos nuevos para técnicas previamente inactivas en la topología de Bing. Otro, del año pasado , utiliza ideas que los editores aprendieron al ensamblar el libro para abordar una pregunta sobre la “cirugía” en nudos en variedades de cuatro dimensiones.

«Ahora está avanzando porque se sienten cómodos usando el teorema de incrustación de discos», dijo Teichner.

El libro tiene un propósito instrumental dentro del campo de las matemáticas, tal vez incluso uno esencial. Pero los editores dicen que estaban motivados por fines más que prácticos para llevar a cabo el largo proyecto. Cuando comenzaron el trabajo, la prueba de Freedman era hermosa, pero oculta. Ahora, por fin, está en pantalla completa.

Corrección10 de septiembre de 2021
Freedman anunció su prueba en la Universidad de California, San Diego, no en la Universidad de San Diego. El artículo ha sido revisado en consecuencia. También se ha revisado una figura que muestra las curvas que se cruzan para reflejar con mayor precisión el contenido del artículo.

https://www.quantamagazine.org/new-math-book-rescues-landmark-topology-proof-20210909/?utm_source=Nature+Briefing&utm_campaign=f68bb0d42e-briefing-dy-20210913&utm_medium=email&utm_term=0_c9dfd39373-f68bb0d42e-44472753

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