Principios lógicos de dialéctica

Por • 11 oct, 2021 • Sección: Opinion

Davide Trotta , Matteo Spadetto , Valeria de Paiva

La interpretación de Dialectica de Gödel fue diseñada para obtener una prueba de consistencia relativa para la aritmética de Heyting, para ser utilizada junto con la interpretación de doble negación para obtener la consistencia de la aritmética de Peano. En los últimos años, las transformaciones de la teoría de la prueba (las llamadas interpretaciones de la prueba) que se basan en la interpretación de Dialectica de Gödel se han utilizado sistemáticamente para extraer nuevo contenido de las pruebas, por lo que la interpretación ha encontrado aplicaciones relevantes en varias áreas de las matemáticas y la informática. Siguiendo nuestro trabajo anterior sobre las fibraciones de Gödel, presentamos una caracterización (hiper) doctrinal de la Dialéctica que corresponde exactamente a la descripción lógica de la interpretación. Para mostrar que derivamos en la teoría de categorías la solidez de la interpretación de la implicación conectiva, según lo expuesto por Spector y Troelstra. Esto requiere principios lógicos adicionales, que van más allá de la lógica intuicionista, el principio de Markov (MP) y el principio de independencia de premisa (IP), así como algunas opciones. Mostramos cómo estos principios se satisfacen en el marco categórico, estableciendo una estrecha correspondencia (lenguaje interno) entre el sistema lógico y el marco categórico. Esta estrecha correspondencia debería ser útil no solo cuando se discuten las aplicaciones de la Dialéctica ya conocidas, como su uso para extraer contenido computacional de (algunos) teoremas clásicos (minería de pruebas), su uso para ayudar a modelar máquinas abstractas específicas, etc., sino también para ayudar a diseñar nuevas aplicaciones. s Principio (MP) y el principio de independencia de las instalaciones (IP), así como algunas opciones. Mostramos cómo estos principios se satisfacen en el marco categórico, estableciendo una estrecha correspondencia (lenguaje interno) entre el sistema lógico y el marco categórico. Esta estrecha correspondencia debería ser útil no solo cuando se discuten las aplicaciones de la Dialéctica ya conocidas, como su uso para extraer contenido computacional de (algunos) teoremas clásicos (minería de pruebas), su uso para ayudar a modelar máquinas abstractas específicas, etc., sino también para ayudar a diseñar nuevas aplicaciones. s Principio (MP) y el principio de independencia de las instalaciones (IP), así como algunas opciones. Mostramos cómo estos principios se satisfacen en el marco categórico, estableciendo una estrecha correspondencia (lenguaje interno) entre el sistema lógico y el marco categórico. Esta estrecha correspondencia debería ser útil no solo cuando se discuten las aplicaciones de la Dialéctica ya conocidas, como su uso para extraer contenido computacional de (algunos) teoremas clásicos (minería de pruebas), su uso para ayudar a modelar máquinas abstractas específicas, etc., sino también para ayudar a diseñar nuevas aplicaciones.

arXiv:2109.08064v1 [math.CT]

Category Theory (math.CT); Logic (math.LO

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