Revisión de los grupos algebraicos en la teoría de la probabilidad no conmutativa

Por • 5 ago, 2022 • Sección: Opinion

Ilya Chevyrev , Kurusch Ebrahimi-Fard , Frédéric Patras

La escuela de von Waldenfels y Schürmann ha defendido durante mucho tiempo el papel de las coalgebras, así como de los grupos algebraicos en la probabilidad no conmutativa. Más recientemente se introdujo otro enfoque algebraico, basado en el cálculo aleatorio y pre-Lie, que resultó en otra construcción de grupos de caracteres que codifican el comportamiento de los estados. Al comparar los dos, el primer enfoque, reformulado recientemente en un lenguaje categórico general por Manzel y Schürmann, puede verse impulsado en gran medida por la teoría de los productos universales, mientras que la segunda construcción se basa en álgebras de Hopf y una algebraización adecuada de la combinatoria de no cruce. establecer particiones. Aunque ambos abordan los mismos fenómenos, moverse entre los dos puntos de vista no es obvio. Presentamos aquí un intento de unificar los dos enfoques haciendo explícitas las conexiones algebraicas de Hopf entre ellos. Nuestra presentación, aunque se basa en gran medida en ideas clásicas y en resultados estrechamente relacionados con el trabajo de Manzel y Schürmann antes mencionado, es original en varios puntos y llena un vacío en la literatura de probabilidad libre. En particular, utilizamos sistemáticamente el lenguaje y las técnicas de los grupos algebraicos junto con las técnicas de barajado de grupos para demostrar que se identifican dos nociones de grupos algebraicos naturalmente asociadas con teorías de probabilidad libres, respectivamente booleanas y monótonas. También obtenemos fórmulas explícitas para varias estructuras algebraicas de Hopf y argumentos detallados que habían quedado implícitos en la literatura. aunque se basa en gran medida en ideas clásicas y en resultados estrechamente relacionados con el trabajo mencionado de Manzel y Schürmann, es original en varios puntos y llena un vacío en la literatura de probabilidad libre. En particular, utilizamos sistemáticamente el lenguaje y las técnicas de los grupos algebraicos junto con las técnicas de barajado de grupos para demostrar que se identifican dos nociones de grupos algebraicos naturalmente asociadas con teorías de probabilidad libres, respectivamente booleanas y monótonas. También obtenemos fórmulas explícitas para varias estructuras algebraicas de Hopf y argumentos detallados que habían quedado implícitos en la literatura. aunque se basa en gran medida en ideas clásicas y en resultados estrechamente relacionados con el trabajo mencionado de Manzel y Schürmann, es original en varios puntos y llena un vacío en la literatura de probabilidad libre. 

arXiv:2208.02585v1 [math.RA

Rings and Algebras (math.RA); Operator Algebras (math.OA); Probability (math.PR)

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