This is an exposition of the first two sections of Chapter VI of Shelah’s book Proper and Improper Forcing. It covers various preservation theorems for CS iteration of proper forcing (omega-omega bounding, Sacks property, P-point property, etc.)

If $A_n$ is a sequence of C*-algebras, then the C*-algebra $\prod A_n / \bigoplus A_n$ is called a reduced product. We prove, assuming Todorcevic’s Axiom and Martin’s Axiom, that every isomorphism between two reduced products of separable, unital UHF algebras must be definable in a strong sense. As a corollary we deduce that two such reduced products $\prod A_n / \bigoplus A_n$ and $\prod B_n / \bigoplus B_n$ are isomorphic if and only if, up to an almost-permutation of $\mathbb{N}$, $A_n$ is isomorphic to $B_n$.

The modal logic of forcing arises when one considers a model of set theory in the context of all its forcing extensions, interpreting necessity as «in all forcing extensions» and possibility as «in some forcing extension». In this modal language one may easily express sweeping general forcing principles, such as the assertion that every possibly necessary statement is necessarily possible, which is valid for forcing, or the assertion that every possibly necessary statement is true, which is the maximality principle, a forcing axiom independent of but equiconsistent with ZFC (Stavi-V\»a\»an\»anen, Hamkins). Every definable forcing class similarly gives rise to the corresponding forcing modalities, for which one considers extensions only by forcing notions in that class. In previous work, we proved that if ZFC is consistent, then the ZFC-provably valid principles of the class of all forcing are precisely the assertions of the modal theory S4.2.

En este trabajo se expone en que consiste el nuevo axioma llamado Martin Máximo Acotado (BMM)1, el cual es un axioma que puede considerarse «natural» en cierto sentido y que junto con la teoría ZFE decide el problema del continuo de Cantor. El llamado Axioma de Martin (AM) es un conocido enunciado relacionado con la topología, la combinatoria infinita y el forcing, planteado por Donald Martin en 1970. En 1988 Foreman, Magidor y Shelah, formularon una versión fuerte maximal de AM y lo llamaron Martin Máximo (MM). También demostraron la consistencia de MM relativa a la existencia de un cardinal supercompacto. BMM es una modificación acotada de MM que resulta más débil y que decide el problema del continuo, en el sentido de que el cardinal del continuo es aleph 2

Determinar cuantos números reales hay se convirtio en uno de los principales desafios de la matemática del siglo XX, despues de que el padre de la Teoría de Conjuntos, Georg Cantor, descubriera que el conjunto de los numeros reales no es numerable. El presente trabajo hace un recuento de los intentos por resolver el problema del continuo hasta antes de que Paul Cohen demostrara, en 1963, que los axiomas de Zermelo Fraenkel junto con el Axioma de Elección eran insuficientes para resolverlo. Se presta especial atención a los vínculos que en ese camino se establecieron entre la Teoría de Conjuntos y otras áreas de las matemáticas, en particular la Topología.